Estudio de la Martingala

Introducción según el cálculo de probabilidades

Llamamos esperanza matemática S de un premio a la cuantía de éste Z multiplicada por la probabilidad de alcanzarlo p, o sea S = pZ. La esperanza matemática representa la fracción del premio que por término medio se gana cada vez que se participa en el juego.

En todo juego de azar equilibrado (sin ventajas para nadie), las esperanzas matemáticas de los jugadores (incluida la banca) deben ser iguales a las respectivas puestas. La razón de esta ley es obvia: por término medio, el jugador ganará una fracción de veces igual a p, y perderá las restantes. Si la apuesta en cada una era A, a cambio de este valor que se entrega se adquiere, por término medio, la ganancia, S. Luego A = S = pZ.

En los juegos con banca organizada, la condición anterior no se cumple nunca. La esperanza es inferior a la apuesta para el jugador, S < class="SpellE">S_b > A_b. Por tanto, en cada jugada, la ganancia media del jugador es S - A <>

Un caso típico es la ruleta. Jugando a un solo número, el premio son 36 veces la puesta. Pero, puesto que entre los posibles resultados existe el cero, la probabilidad del jugador es p = 1/37. La esperanza matemática es S = 36A/37 = 0,973A. El cociente S/A representa, pues, el “retorno medio” de la apuesta unidad.

Otros juegos son mucho más desequilibrados que la ruleta. En las carreras de galgos, S/A = 0,80, puesto que se reparte en premios el 80 % de la recaudación. En las quinielas y en la lotería nacional, S/A = 0,55. Y en muchas rifas este cociente alcanza unos valores tan bajos que ningún jugador mínimamente avisado debiera participar jamás en ellas.

La martingala

La llamada “martingala”, supuesta fórmula para ganar siempre en los juegos de azar, consiste en ir aumentando la apuesta según un ritmo dado en caso de pérdida para compensar, con la futura ganancia, las cantidades perdidas hasta el momento. En una palabra, en ir aumentando la cantidad que arriesgamos.

Fijemos las ideas con un ejemplo. Sea el juego de azar más sencillo, a cara o cruz. Apostemos 1 € a la Cara. Si sale, hemos ganado 1 €. Si no, apostaremos 2 €. Perdemos otra vez: muy bien, no importa, apostemos 4 €. Y si ciertamente estamos de mala suerte y volvemos a perder, apostemos 8 €. Esta vez la suerte nos es favorable y sale C. Ganamos 8 €. Como en las cuatro jugadas anteriores habíamos perdido 1 + 2 + 4 = 7 €, todavía ganamos 1 €.

Es decir: considerando dividido el juego en “rachas” terminadas por C, en cada “racha” ganamos 1 €. Por ejemplo, sea la sucesión: C++C+C+CC+++CC+C+C+C+C+++CC+CC+C C+CCC+C. Si la escribimos así: (C)(++C)(+C)(+C)(C)(+++C)(C)(+C)(+C)(+C)(+C)(+++C) (C)(+C)(C)(+C)(C)(+C)(C)(C)(+C), fácilmente vemos que se ganan 21 €, uno por cada paréntesis.

Si este sistema es tan infalible, ¿cómo no se arruinan los casinos? En realidad, si nos presentamos en uno de ellos y jugamos según esta técnica, seremos tan bienvenidos como los restantes “incautos” clientes. ¿Por dónde falla la martingala?

Lo que ocurre es que nosotros jugamos con una banca limitada B, siempre inferior a la del casino. Si, para simplificar, convenimos en que B = 2^N, eso es tanto como decir que podemos resistir una “racha” negativa de longitud máxima N. Si v. gr. nuestra banca son 1024 €, una racha de 10 + seguidas nos produciría una pérdida igual a esta cantidad, y ya no podríamos apostar en la siguiente tirada.

Ciertamente, la probabilidad de que se presente esta racha es pequeña. Precisamente vale p = 1/2^N, es decir, que por término medio sólo se presentará una vez de cada 2^N. Pero observemos un hecho interesante: nuestra ganancia en cada “racha” ha sido 1 €. La vez en que se presenta la “racha fatídica” perdemos de un golpe todo lo atesorado pacientemente a lo largo de las rachas anteriores. Los 1024 € se esfumarán en un momento, destruyendo el trabajo de horas y horas.

En realidad, un teorema de alcance más general afirma que en cualquier juego de azar equilibrado, a la larga gana siempre el jugador que posee la mayor banca, o, mejor dicho, tiene una probabilidad mayor de arruinar al contrario (¡puede resistir rachas más largas!). Y si esto ocurre con los juegos equilibrados, ¿qué no será con la ruleta, que no lo es? En efecto, la existencia en ella del cero hace que la probabilidad de ganar en una apuesta a “rojo” o “negro” por ejemplo, no sea p = 0,50, sino p = 18/37 = 0,4865. Esta pequeña diferencia a favor del casino contribuirá a arruinarnos más rápidamente.

Para ilustrar mejor lo dicho, hemos efectuado con el ordenador un simulacro de partidas contra el “Casino Informático” (prueba de Monte-Carlo). Vamos a ver los resultados, en los siguientes supuestos:

· Llamaremos “noche” a una sesión seguida de apuestas en el casino.

· En cada noche empezamos con una banca de 1000 €.

· Jugamos 1 € a Rojo, manteniendo fijo el valor si ganamos. Cada vez que perdemos doblamos la apuesta (salvo si nuestra banca en ese momento no alcanza, entonces apostamos el resto).

Realizaremos el estudio para un número variable de “rachas” cada noche, llamando “racha” a una serie (que puede ser nula) de negros coronada por un rojo. Nuestras ganancias/pérdidas dependerán, a igualdad de los restantes factores, del número de “rachas” que juguemos por noche.

NO. DE RACHAS POR NOCHE	NOCHES CON PÉRDIDA	NOCHES CON RUINA
100 200 500 1000 2000 5000	6,1 % 9,8 % 21,1 % 40,2 % 49,3 % 64,5 %	3,5 % 7,4 % 15,4 % 27,5 % 47,3 % 64,4 %

Es decir, que, por ejemplo, si jugamos 500 rachas por noche, en un 21,1 % de ellas acabaremos con pérdida. En ellas están comprendidas el 15,4 % del total en que nos arruinaremos totalmente.

Observemos que la técnica de la martingala, si es jugada unas pocas veces, casi nos garantiza una pequeña ganancia, pero a costa de exponer muy poco todo nuestro capital. La jugada sería comparable a apostar nuestra vivienda, que vale 100.000 €, contra 10 € en un juego en el que nuestra probabilidad de ganar es p = 0,9999. Si jugamos unas pocas veces, podemos estar prácticamente seguros de ganar unos euros, pero no dejaremos de haber expuesto toda nuestra vivienda. Más juegos similares: podemos imaginar que practicamos parapente (una pequeña probabilidad de perder nuestra vida contra el disfrute del deporte), etc. ¿Sale a cuenta? Cada cual debe decidir para sí.

En realidad, la martingala podría extenderse a juegos equilibrados con probabilidad distinta de ½. Por ejemplo, para el juego de dados, en que p = 1/6, podríamos multiplicar la puesta, en caso de pérdida, por un factor k, que deberíamos calcular en función del número de jugadas en que recuperaríamos las pérdidas. El cálculo en este caso bastante más complejo.

La Martingalita

Prontamente reconocida la peligrosidad de la martingala, el ingenio de los jugadores se ha centrado en disminuir el ritmo de crecimiento de las apuestas en caso de pérdida para no exponer tan fuertemente toda nuestra banca a la ruina. Naturalmente, esto se consigue a costa de alargar el “tiempo de recuperación”. En todo caso, las leyes de probabilidades se mantienen férreamente, y el resultado, a la larga, es perder.

Una versión atenuada de la martingala, a la que llamaremos la martingalita, consiste en la siguiente estrategia de apuestas:

Elegimos una serie de números consecutivos y apostamos una cantidad igual a la suma del primero y el último.

· Si ganamos, tachamos esos números y apostamos otra vez la suma del último y el primero.

· Si perdemos, no tachamos ninguno, sino que añadimos el siguiente de la serie que quede y seguimos apostando la suma del primero y el último.

Veamos un ejemplo:

SERIE	RESUL- TADO (G/P)	APUESTA	CAPITAL REMANENTE
1-2-3-4-5-6-7-8 2-3-4-5-6-7 2-3-4-5-6-7-8 2-3-4-5-6-7-8-9 3-4-5-6-7-8 4-5-6-7 4-5-6-7-8 4-5-6-7-8-9 5-6-7-8 5-6-7-8-9	G P P G G P P G P G	9 -9 -10 11 11 -11 -12 13 -13 14	9 0 -10 1 12 1 -11 2 -11 3

Más sencillamente: apostamos la cantidad k, y la mantenemos mientras ganamos. En cuanto perdemos, a la siguiente apuesta apostamos k+1. La progresión no es tan rápida, conque no somos tan vulnerables a una racha negativa, pero el proceso de ganancia es muy lento.

Veamos otro ejemplo de simulación mediante el método de Monte-Carlo. En este caso la apuesta inicial es 1 €, y se aumenta 0,2 € cada vez que se pierde.

NO. DE RACHAS POR NOCHE	NOCHES CON PÉRDIDA	NOCHES CON RUINA
100 200 500 1000	47,1 % 51,0 % 48,8 % 64,2 %	0,0 % 0,0 % 13,7 % 57,7 %

Puede verse que el riesgo de ruina total es más reducido, pero en cambio aumenta el de pérdida a lo largo de la noche.

Existen numerosas variantes de la martingalita, siempre basadas en reducir el ritmo de aumento de apuestas en caso de pérdida. Por ejemplo, multiplicando la puesta por 1,5 o un factor k menor que 2. En todos los casos el resultado es el mismo: a la larga, se pierde siempre, pues el jugador se enfrenta con una banca infinita.